怎么从麦克斯韦方程组推导出光波方程?

麦克斯韦方程组是怎样的?怎么从麦克斯韦方程组推导出光波方程?电荷守恒是麦克斯韦方程组的推论?7月29日12时,《张朝阳的物理课》第七十五期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先给网友们分享了一种碎片化学习法以及如何将这个方法与这一系列直播课程结合起来使用,然后带着网友们复习了最近两次直播课推导L4拉格朗日点位置时用到的一个关键的运动学结论,最后回到电磁学领域,介绍了麦克斯韦方程组的形式以及对麦克斯韦方程组的理解,并使用麦克斯韦方程组推导了光的波动方程。

学习物理有困难?张朝阳分享碎片化学习法

对普通大众来说,物理是一门学习起来比较困难的学科,要想掌握其中的奥秘,对很多人来说是个不小的挑战。鉴于此,张朝阳介绍了一种碎片化的学习方式,这种学习方式利用了大脑接收碎片化信息的能力,完美契合了当前社会大众零碎空余时间的特点,能够帮助人们快速、精准地学习到一个专门的知识要点。

张朝阳介绍的学习方法可以总结为:充分利用自己的兴奋点,不要恐惧未知的东西,也不必要求自己百分之百弄明白,而是想到什么问题,就去集中解决什么问题。如果中途需要使用什么工具、新的知识,也不必深究这些工具或者知识背后的原理,只需要了解其中的大概,集中精力放在解决当前的问题之上即可。

张朝阳强调,与这个方法对立的是,系统地、完整地学习一个领域的知识。实际上,人是很难完全掌握各个方面的知识的,系统地学习某个方面的知识,不仅浪费时间,而且其中的细枝末节对自己其实帮助不大。所以他张建议网友们在学习《张朝阳的物理课》时,不必追求系统全面,需要解决什么问题就去了解对应的工具,这样学习到的知识虽然是碎片化的,但是常年累积起来之后就会形成非常严密的知识脉络。

为此,张朝阳还作了一个形象生动的比喻。一个人搬到一个新的地方,这个人在新地方逛街的时候不必系统地、从头到尾地把每个商店都逛一遍,只需要在有需求或者有兴趣的时候到合适的店铺去逛即可。久而久之,这个街区大部分的店铺都会被这个人所认识,这就是碎片化学习所达到的结果。

张朝阳补充道,这个方法不适合那些有考试压力的人。对于学生来说,还是应该系统地学习理论基础为好。

张朝阳介绍碎片化学习法

说回物理,张朝阳强调了最近两次直播课程时用到的一个“关键点”:虽然地球实际上是绕着日地质心在公转的,但是计算地球公转角速度时使用的是约化质量与日地距离。同时,计算L4点的公转加速度时用的又是这一点到日地质心的距离。这里边究竟使用哪个距离来计算,是很关键的,因此需要大家特别注意。

利用矢量微积分 分析麦克斯韦方程组

简短复习了上两节直播课的内容之后,张朝阳开始介绍麦克斯韦方程组。最先介绍的方程是高斯定理,描述的是电场的散度:

为了理解这个方程,可以借助之前课程介绍过的引力场相关知识。根据牛顿万有引力定律,引力场为:

根据以前直播课程介绍过的结果,有:

对于一般的(光滑)矢量场F:

数学上有一个高斯定理,它断言:

其中的积分区域V是等式左边积分面所包围的区域。将这个结果应用到引力场上,有:

这样就得到:

由于积分区域V可以任意选取,所以等式两边的被积函数是相等的,否则必然能选取一小块区域使得上式两个积分不相等。这样就得到:

怎么把这里的分析运用到电场上面呢?注意到电场的公式为:

它与前面的引力场公式是类似的。借助这个类似,只需要把引力场换成电场,质量密度换成电荷密度,-G换成k,就可以得到关于电场的结论:

这里的ρ是电荷密度而非质量密度。又因为:

所以:

这正是麦克斯韦方程组的其中一个方程,它把电荷密度与电场散度联系了起来。

既然电场的散度正比于电荷密度,那电场的旋度等于多少?这就需要借助法拉第电磁感应定律了。根据法拉第电磁感应定律,环路的电动势等于负一倍的环路磁通量的时间变化率,用公式表达就是:

等式左边的积分面是环路L所谓的任意光滑曲面,曲面方向与环路L的方向满足右手螺旋定则。

怎么将这个结果与电场的旋度建立联系呢?这就需要用到数学上的斯托克斯定理。根据斯托克斯定理,对于环路L以及它所围的曲面,光滑矢量场F满足:

将此结果用到法拉第定律的电场环路积分上可以得到:

上式的积分面可以任意选取,因此等式两边的被积函数必然相等,所以:

这就是麦克斯韦方程组的第二个方程。

介绍完电场的散度与旋度,接下来还需要知道磁感应强度的散度与旋度。磁感应强度B的散度是等于零的:

这就是第三个麦克斯韦方程。与电场的散度结果作对比可以知道,并不存在所谓的磁荷。如果磁荷存在的话,上式右边应该正比于磁荷密度。磁感应强度的散度等于零,这该怎么理解呢?在第二个麦克斯韦方程两端取散度,有:

上式中的散度算符与时间导数可交换是因为时间坐标与空间坐标是独立的,它们的偏导数可以互相交换。根据矢量分析,矢量场的旋度的散度为0,所以可以知道:

于是:

换言之,磁感应强度的散度是不随时间变化的。假如一个磁场一开始最开始来源于一个稳恒电流,那么有:

可以证明,上式等号左边的散度是等于零的,所以稳恒电流的磁感应强度的散度也等于零。又因为磁感应强度的散度不随时间改变,所以之后任意时刻的磁感应强度的散度都恒等于0。根据这一点,就可以理解麦克斯韦方程组的第三个方程了。

麦克斯韦方程组一共有四个矢量方程,既然电场的散度与旋度以及被描述出来了,磁感应强度的散度也被限制等于零了,那么第四个方程必然是对磁感应强度的旋度作出限制的,这个方程是:

其中矢量j是电流密度。

这个方程是蕴含电荷守恒定律的。为了看出这一点,同时在等式两端取散度,注意矢量场的旋度的散度等于零,于是有:

其中最后一步推导使用了电场的散度公式。消掉常数可以得到:

怎么理解这个结果呢?首先,电流以及电流密度描述的是电荷的流动,电流密度的散度就是电荷在单位时间内流出相应微元的速率。上式表明单位时间流出的电荷等于微元内电荷的时间变化率的负一倍,这正说明电荷的改变只能通过流动来实现,电荷不能凭空消失,也不能凭空被创造出来,否则上式就不成立了。所以,这个式子描述的正是电荷守恒定律。

张朝阳介绍麦克斯韦方程组与电荷守恒定律

光的波动方程 光速不变性

介绍完麦克斯韦方程组之后,张朝阳将它们应用在真空无源的电磁场上。在真空无源的电磁场的情况中,电荷、电流都为零。第二个麦克斯韦方程是关于电场旋度的,对这个方程再取一次旋度可以得到:

其中的推导使用了磁感应强度的旋度结果。

根据矢量分析,上式最右边的量可以写为:

这个式子里边第一个等号来源于矢量分析中的结论,第二个等号是因为在真空情况下电荷为0,所以电场的散度等于0。将这个结果代回前一式可以得到:

这就是电磁波的波动方程(之一)。

张朝阳在以前的直播课程中介绍过波动方程,不过那时候介绍的都是一维情形下的波动方程,这里得到的波动方程是三维情形下的。为了和以前介绍的波动方程联系起来,可以假设电场只有x分量不为零,并且只依赖于x左边与时间坐标,这样四维的波动方程可以写为:

根据波动方程的性质,可以知道电磁波速度为:

可以代入数值验证它确实等于光速。

值得注意的一点是,如果承认麦克斯韦方程组在所有惯性系下都是成立的话,由于这里对光速的推导没有使用到特殊的惯性系,所以可以知道(真空中的)光速在所有惯性系上都等于同一个常数,这正是爱因斯坦的狭义相对论的基本假设之一。

张朝阳推导电磁波波动方程与光速

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。